Уровни понимания теории вероятностей

[robert_ibatullin]

Мы бросаем монету. Десять раз подряд выпал орёл. Какова вероятность того, что в одиннадцатый раз тоже выпадет орёл? Варианты ответа: меньше 0,5; ровно 0,5; больше 0,5.

Уровень понимания 1 (детский). Такая серия орлов очень маловероятна. Везение должно кончиться, наверняка следующий раз выпадет решка. Ответ: меньше 0,5.

Уровень 2 (школьный). Броски монеты независимы, на вероятность выпадения орла не влияют результаты предыдущих испытаний, поэтому ровно 0,5.

Уровень 3 (студенческий). Следует учесть возможность того, что монета нечестная, т. е. вероятность однократного выпадения орла выше 0,5. При условии нулевой гипотезы (что монета честная) вероятность получить 10 орлов подряд = 1/1024, что значительно меньше общепризнанного порога значимости 0,05. Поэтому нулевую гипотезу следует отвергнуть. Скорее всего, монета нечестная. Вероятность 11-го орла больше 0,5.

Уровень 4 (профессиональный). Нечестных монет, скорее всего, гораздо меньше, чем честных. (Наверняка меньше, чем 1 из 1000. Это же не рулетка, ни у кого нет интереса их подделывать, а случайно отчеканить сильно неуравновешенную монету не так-то просто). Поэтому мы скорее получим серию из 10 орлов, бросая честную монету, чем случайно обнаружим в своём кошельке нечестную. На языке теоремы Байеса: Р(10 орлов|честная монета) = 1/1024 < Р(10 орлов|нечестная монета), но в силу того, что априорная вероятность Р(честная монета) >> Р(нечестная монета), получаем Р(честная монета|10 орлов) > Р(нечестная монета|10 орлов). А раз монета честная, то и вероятность 11-го орла равна 0,5.

И даже если не делать априорных предположений о доле нечестных монет, нужно учесть вот что: наша монета наверняка не только что отчеканена, у неё есть история, а значит, вполне возможно, что её бросали и раньше. Значит, наши 10 орлов - лишь эпизод в серии орлов и решек, возможно, очень длинной. А это сильно повышает вероятность получить 10 орлов подряд при условии честности монеты: где-нибудь внутри серии, например, из 10 000 бросков она равна 1 - (1-1/1024)**1000 ≈ 0,62. Итак, учёт предыстории ещё больше повышает вероятность того, что монета честная, а значит, и вероятность выпадения 11-го орла, скорее всего, равна точно 0,5.

Вот оно как непросто-то.

Comments

[avva]

Уровень 5. Нечестных монет не бывает (в отличие от нечестных костей).

[pz-true.livejournal.com]

А я помнится в молодости развлекался тем, что угадывал падение монетки. Хуже чем 8 из 10 не угадывал, но чаще всего 10 из 10.

И да, на тот момент я теорию вероятности знал на уровне 1.

[lagashkinruslan]

Частный случай biased монеты: монета с двумя орлами.

Это не уровни понимания, а уровни использования

[sanitareugen]

Уровень понимания ограничивает уровень использования, при малом понимании более высокие использовать невозможно, но низшие уровни могут использоваться при высоком понимании, если ясен механизм порождения случайностей.
Первый уровень не детский, скорее бытовой. Теории вероятностей человек не знает, руководствуется наблюдениями. А в реальной жизни нет независимых событий. И всё охвачено обратными связями. Отрицательными, если объект стабилен, или положительными, если бурно развивается. И если есть основания считать, что состояние не меняется - есть основание ждать отрицательных связей. Если перворазрядники Петя и Вася играют в одну силу, но Петя десять раз выиграл у Васи (но по другим турнирам видно, что силы равны), то можно ожидать, что на одиннадцатый раз Вася поймёт хитрый Петин гамбит и научится отвечать на него, а то - Петя расслабится, ожидая очередного триумфа, и зевнёт.
Второй уровень - теоретико-вероятностный. А теория вводит какие-то абстракции. В данном случае "независимые равновероятные события". Реальность может соответствовать абстракциям, может не соответствовать, но в чисто теоретическом рассмотрении они постулируются. И студент должен отвечать сообразно постулатам. Но и более высокий уровень понимания может оперировать "независимыми равновероятными", только предварительно доказав, что эта гипотеза согласуется с реальностью.
На третьем уровне появляется статистика, вероятности в ней не постулируются, а получаются из наблюдений. И десять подряд "орлов" сильный аргумент в пользу ошибочности гипотезы "НР". Есть основания то ли ловить "двухорловый пятак", то ли магнит и железную половину монеты, то ли ошибку регистрации "орлов".
Четвёртый уровень предполагает источник априорных сведений о монетах. И наши наблюдения не дают нам знание вероятности, а уточняют его, если у нас "двухорловый" один из тысячи пятаков, то 10 орлов подряд будут менее чем один раз из тысячи для честной, и всегда для шулерской монеты, и вероятность того, что монета шулерская, возрастает до примерно 1/2.
Пятый, не перечисленный тут уровень вовлекает ещё и функцию потерь. И мы принимаем решение не по максимуму вероятности, а по минимуму потерь. Если продолжение общения с шулером обойдётся нам в тысячу, а отказ от игры с честным человеком в сто рублей, то даже если вероятность того, что это шулер, немногим более 0.1, лучше отказаться.
Что до "учёта предыстории" - то, как бы древня ни была монета, сколько бы бросаний она ни пережила, эти 10 бросаний сейчас и от прошлых никак не зависят. Вот если мы рассматриваем все 10000 бросков, то серия из 10 подряд ничего о фальшивости монеты не говорит. Вообще, человек склонен преувеличивать важность совпадений, считая их слишком маловероятными для случайности. Это не только вероятностный факт, см. "теория Рамсея".

Re: Это не уровни понимания, а уровни использования

[robert_ibatullin]

Спасибо, интересные мысли.

Единственное, с чем не соглашусь: "Что до "учёта предыстории" - то, как бы древня ни была монета, сколько бы бросаний она ни пережила, эти 10 бросаний сейчас и от прошлых никак не зависят."
Броски не зависят, но вероятности наших гипотез зависят. На два вопроса: 1) "монету бросили десять раз, все десять выпал орёл - какова вероятность того, что монета честная?" и 2) "монету бросили N раз, из них десять раз подряд выпал орёл, про остальные мы ничего не знаем - какова вероятность того, что монета честная?" - ответы разные.

Это разные вопросы.

[sanitareugen]

Да, и ответы поэтому разные. Но именно случай, когда выпало 10 подряд, и мы себя успокаиваем, что, наверно, монетку миллионы раз бросали, вот сейчас и выпало - это ложное самоуспокоение. В отличие от "однажды было такое - значит, бывает!".

[mr_bison]

Извините, что слишком поздно встряю, а можно для чайника на уровне студента, то есть на 3-м уровне еще раз пояснить, как высчитывается высокая вероятность того, что монета нечестная? Ведь вероятность любой 10-значной комбинации орлов и решек, а не только 10 орлов, это 1/1024.

[robert_ibatullin]

Нас не интересует порядок, в котором выпали орлы-решки, поэтому считаем, что ОРРОРРООРО и РРОРРООРОО - одна и та же комбинация (5Р, 5О). Всего (если я ничего не путаю) возможны 252 ряда с 5 орлами и 5 решками в разных последовательностях, 210 рядов с 4 орлами и 6 решками (или наоборот), и всего один ряд из 10 орлов и 0 решек. Именно поэтому сочетания, близкие в 50-50, и более вероятны при условии честности монеты.